讲到外接，我们很多人都了解，有朋友问棱长为a的正四面体的体积，另外，还有人问棱长为a的正四面体的体积，这到底是咋回事？实际上正四面体的外接球和内切球呢，接下来小编在这里给大家带来正四面体的内切球与外接球，一起细细了解。
正四面体的内切球与外接球
若棱长为a，外切球半径为√6a/4，内切球半径为 √6a/12。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。
内切球半径r=(√6/12)a，外接球半径R=(√6/4)a。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上，而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。
然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥（交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线，把四面体分成四份，每份为一个小三棱锥）从所合成的。
利用等体积法，四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高，三棱锥的高即内切球半径，h减去内切球半径即外接球半径。
正四面体的性质：
1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然。
2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。
3.正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。
4.正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
5.正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
6.正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
7.正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
正四面体内切球和外接球的半径之比1：3怎么证明？
注意看这个正方体ABCD-A1B1C1D1以及四面体A1BC1D,这个四面体每条边长都是正方体面对角线的长度,所以它的四个面是全等的等边三角形,所以它是一个正四面体.
正方体的中心O到8个顶点的距离相等,也就是到正四面体四个顶点距离相等,那么正四面体的中心和O重合
设正方体边长为2,那么体对角线为2√3,所以中心O到每个顶点距离为√3,这是正四面体外接球的半径R
而根据图中建立的坐标系,O(1,1,1),面A1BD方程为x+y+z-2=0,所以O到面A1BD距离
d=|1*1+1*1+1*1-2|/√(1+1+1)=1/√3.这是内切球的半径r
那么r:R=1/√3:√3=1:3
为什么正四面体的内切球与外接球的半径之比为1:3
正方体的内切球直径是正方体的边长
外切球直径是对角线长度
棱长为a的正四面体的外接球半径和内切球半径各是多少？
连接正四面体的各个三角形的中心，形成一个新的正四面体。容易证明，新正四面体的边长为a/3.
我想，按这个思路做下去，大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径R是内切圆半径r的3倍。
R=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
R=3a/(2根号6)
正四面体的外接球内切球棱切球公式
高是√6a/3,外接球半径√6a/4,内切球半径√6a/12，棱切球半径√2a/4
正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积
解答：
又BE=
正四面体的外接球和内切球的半径之比是______
解答：
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=
正四面体内切球,外接球半径与边长比是多少？
设棱长a,一个面上的正三角形中,求出一个射影√3/3a,是底面三角形外接圆半径，正四面体其高h,h=√6/3a,球半径R=√6/4a,外接球半径与棱长比为:√6/4,同理球心至底面距离：
√6/3a-√6/4a=√6/12a,内切球与棱长比为√6/12.
正四面体的外接球半径？
设正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。
解：设正四面体V-ABC，D为BC的中点，E为面ABC的中心，外接球半径为R，
则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.
在Rt△VAE中，有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3.
在Rt△AEO中，有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2，即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,
可解得：R=（√6）a/4.
另外，我们也可以先求出OE，因为OE恰好是四面体的内切球的半径r,利用等积法可求得r.
设四面体的底面积为S，则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中，有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。
